Calculateur des intérêts composés

Dans cette partie je présente les intérêts composés, les définition et les formules ainsi que des exemples explicatifs. et principalement un calculateur en ligne pour appliquer ces notions théoriqueq

1.Calculateur des intérêts composés en ligne

Ce calculateur vous permet de calculez la valeur acquise et actuelle en utilsant les coefficient des tables financières .

2. C'est quoi les intérêts composés ?

On place 1000 D dans un compte d'épargne. L'intérêt est calculé au taux de 5 % l'an . Après un an l'intérêt produit est 50 D. Pour la deuxième année, l'intérêt sera calculé sur la base de 1050 et non pas 1000. En effet l'intérêt de la première année est ajouté au capital initial pour apporter à son tour des intérêts. C'est la capitalisation des intérêts : L'intérêt devient un capital ...

3. Valeur acquise d'un capital : Définition, formule et exemple

C'est la valeur qu'on obtient si on place un capital pendant une période. On remarque bien que la valeur acquise est toujours supérieure au capital initial. La formule de la la valeur acquise d'un capital est la suivante :C_n = C₀ (1+i)ⁿ
avec

• c : capital
• n : nombre de périodes
• i : taux d'intérêt par période
• C₀ : capital initial
• C_n : valeur acquise après n périodes

La période est généralement l'année mais elle peut aussi être le semestre, le mois ou le trimestre.

Généralement pour calculer (1+i)ⁿ, on utilise la calculatrice ou les tables financières . La formule de la valeur acquise en utilisant les tables financière sera : C_n = C₀ x Table1
Pour voir ou générer une table financière : Les Tables financières

On parle de valeur acquise d'un capital dans deux principaux cas :
- On place de l'argent pendant quelques années sans retirer les intérêts annuels.
- On emprunte de l'argent à rembourser après quelques années sans payer les intérêts chaque année. (Ce cas est très rare car généralement on paye les intérêts chaque année et donc les intérêts ne seront pas capitalisés. Pour voir les cas habituels d'emprunts : Calculateur d'emprunt et explication )

Valeur acquise d'un capital placé

Exemple : Une entreprise a placé un capital de 10000 D pendant 4 ans au taux annuel de 6%. La valeur acquise sera : C₄ = 10000 (1,06)⁴ = 10000*1,262477 = 12624.770 D.

Valeur acquise d'un capital emprunté

C'est la même démarche que l'exemple précédent.
Exemple : Un fou a emprunté un capital de 10000 D à rembourser après 15 ans au taux annuel de 12%. Le montant total à rembourser ou La valeur acquise sera : C₁₅ = 10000 (1,12)¹⁵ = 10000*5,473566 = 54735,660 D.

Valeur acquise d'un capital de date à date

Exemple : Un sage a placé le 1-1-2020, un capital de 10000 D au taux annuel de 8%. Ici on va calculer la valeur acquise de ce capital au 1-1-2023 , au 1-1-2025 et au 31-12-2024. Bien sûr, tu peux essayer de trouver avant de voir la solution !
C_1-1-23 = 10000 (1,08)³ = 10000*1,259712 = 12597.120 D.
C_1-1-25 = 10000 (1,08)⁵ = 10000 *1,469328 = 14693.280 D.
on remarque qu'ici qu'on peut faire autrement. En fait on peut écrire
C_1-1-25 = C_1-1-23 (1,08)² = 12597.120*1,1664 = 14693.280 D
C_31-12-24 = C_1-1-25 = 14693.280 D. Il faut comprendre ici que 31/12/24 et 1/1/25 est la même chose. La différence entre ces deux dates est 1 jour. Réellement c'est rien par rapport à une année. Et plus concrètement, dans ce contexte, ces deux dates expriment la meme chose comme si on dit le stock au 31-12-24 ou au 1-1-25 ...

4.Valeur acquise globale de plusieurs capitaux

La formule de la table 1 , nous donne la valeur acquise d'un capital. Dans le cas de plusieurs capitaux identiques ou différents, on peut utiliser cette formule autant de fois qu'il y de capitaux. Donc on calcule la valeur acquise de chaque capital ensuite on fait la somme

Exemple : Une personne a placé les capitaux suivants au taux annuel de 8 %

Calculons la valeur acquise en janvier 2018 , janvier 2020 et janvier 2017.

La valeur acquise globale en janvier 2018 : V₂₀₁₈ = 2000(1,08)⁵+3000(1,08)⁴ +4000(1,08)¹ = 11340,123

La valeur acquise globale en janvier 2020 : V₂₀₂₀ = 2000(1,08)⁷+3000(1,08)⁶ +4000(1,08)³ = 13227,119
On peut calculer cette valeur autrement :V₂₀₂₀= V₂₀₁₈(1,08)² = 13227,119

La valeur acquise globale en janvier 2017 : V₂₀₁₇ = 2000(1,08)⁴+3000(1,08)³ +4000(1,08)⁰ = 10500,114
Remarquez bien que la valeur acquise du capital 4000 est égale à lui même car (1,08)⁰ =1 (et non pas zéro ! vous pouvez vérifier avec votre prof de math...)

5. Valeur actuelle d'un capital : Définition, formule et exemple

C'est le capital qu'on doit placer pour avoir une certaine valeur acquise . On quelque sorte, on va rechercher C₀ à partir de C_n.
C_n = C₀ (1+i)ⁿ donc C₀ = C_n /(1+i)ⁿ donc C₀ = C_n (1+i)^-n
La formule de la la valeur acquise d'un capital est la suivante :C₀ = C_n (1+i)^-n

Généralement pour calculer (1+i)^-n, on utilise la calculatrice ou les tables financières . La formule de la valeur actuelle en utilisant les tables financière sera : C₀ = C_n x Table2
Pour voir ou générer une table financière : Les Tables financières

Valeur actuelle d'un capital placé

Exemple : Alpha a placé un capital pendant 5 ans au taux 7 % et a obtenu 9000 D. Quelle était le capital placé (Quelle est la valeur actuelle de 9000?)
C₀ = 9000(1,07)^-5 = 9000*0.712986 =6416.874 D.

Valeur actuelle d'un capital de date à date

Soit un capital de 10000 au 1-3-2027. Calculer la valeur actuelle de ce capital au 1-3-2024 et au 1-3-2022 (taux annuel 7%). Bien sûr, tu peux essayer de trouver avant de voir la solution !
C_1-3-24 = 10000 (1,07)^-3 = 10000*0.816298 = 8162.980 D.
C_1-3-22 = 10000 (1,07)^-5 = = 10000 *0.712986 = 7129.860
on remarque qu'ici qu'on peut faire autrement. On peut écrire
C_1-3-22 = C_1-3-24 (1,07)^-2 = 8162.980*0.873439 =7129.860 D

6.Valeur actuelle globale de plusieurs capitaux

La formule de la table 2 , nous donne la valeur actuelle d'un capital. Dans le cas de plusieurs capitaux identiques ou différents, on peut utiliser cette formule autant de fois qu'il y de capitaux. Donc on calcule la valeur actuelle de chaque capital ensuite on fait la somme

Exemple : Soient les capitaux suivants (taux annuel de 8 % )

Calculons la valeur actuelle en janvier 2022 , janvier 2020 et janvier 2023.

La valeur actuelle globale en janvier 2022 : V₂₀₂₂ = 2000(1,08)^-1+3000(1,08)^-2 +4000(1,08)^-5 = 7146.201

La valeur acquise globale en janvier 2020 : V₂₀₂₀ = 2000(1,08)^-3+3000(1,08)^-4 +4000(1,08)^-7 = 6126.717
On peut calculer cette valeur autrement :V₂₀₂₀= V₂₀₂₂(1,08)^-2 = 6126.717 D

La valeur acquise globale en janvier 2023 : V₂₀₂₃ = 2000(1,08)^-0+3000(1,08)^-1 +4000(1,08)^-4 = 7717.898
Remarquez bien que la valeur actuelle du capital 2000 est égale à lui même car (1,08)⁰ =1 (et non pas zéro ! vous pouvez vérifier avec votre prof de math...).

7.Equivalence des capitaux

Si vous avez bien compris, ce qui a précédé, vous avez problalement remarqué qu'on joue avec les capitaux et le temps. Si on cherche une valeur future d'un capital alors c'est une valeur acquise. Si on cherche une valeur passée du capital alors c'est une valeur actuelle.

Equivalence d'un capital entre deux dates

Exemple : Soit un capital de 5000 en mars 2030. calculons la valeur de ce capital en mars 2034 et mars 2028 en utilisant un taux annuel de 12 %
La valeur en mars 2034 = 5000(1,12)⁴=7867.595 D. On peut dire que 5000 en 2030 est équivalent à 7867 en 2034.
La valeur en mars 2028 = 5000(1,12)^-2=3985.970 D . On peut dire que 5000 en 2030 est équivalent à 3985 en 2028.
La valeur en mars 2028 peut aussi être calculée ainsi : 7867.595(1,12)^-6=3985.970 D

Equivalence de plusieurs capitaux entre deux dates

Exemple : Soit les capitaux suivants :

Calculons la valeur globale équivalente en janvier 2012 , janvier 2015 et janvier 2018 (taux 8% l'an)

La valeur globale en janvier 2012 : V₂₀₁₂ = 2000(1,08)^-1+3000(1,08)^-2 +4000(1,08)^-5 = 7146.201 D. On peut dire que ces 3 capitaux sont équivalents (ou leur valeur globale) à 7146 en 2012.

La valeur globale en janvier 2015 : V₂₀₁₅ = 2000(1,08)²+3000(1,08)¹ +4000(1,08)^-2 = 9002.156 D
On peut aussi calculer autrement : V₂₀₁₅ = V₂₀₁₂(1,08)³ = 7146.201(1,08)³ = 9002.156 D

La valeur globale en janvier 2018 : V₂₀₁₈ = 2000(1,08)⁵+3000(1,08)⁴ +4000(1,08)¹ = 11340.123 D
On peut aussi calculer autrement : V₂₀₁₈ = V₂₀₁₂(1,08)⁶ = 7146.201(1,08)⁶ = 11340.123 D

De même on peut dire que V₂₀₁₂ = V₂₀₁₈(1,08)^-6

7.Les annuités constantes : Définitions, formules et exemples

Définition des annuités constantes

C'est une suite de plusieurs capitaux identiques successifs. On peut trouver ces annuités dans plusieurs cas parmi lesquels on peut citer : Le cas de remboursement des emprunts bancaires par annuités constantes et le cas de l'épargne lorsque une personne veut constituer un capital en versant chaque période un montant fixe.

Les annuités constantes peuvent être de début ou de fin de période. C'est dans l'exercice qu'on vous donne la nature des ces annuités. Mais généralement on peut vous demander de le déterminer vous même.Voici les Formules de la valeur acquise et actuelle des annuités de fin de période et de début de période

Formules pour calculer la valeur acquise et la valeur actuelle des annuités constantes

Remarque importante : On peut toujours considérer les annuités comme une serie de capitaux et calculer leurs valeur acquise globale ou actuelle globale en utilisant les tables 1 et 2 . Par exemple si on veut calculer la valeur actuelle globale de 3 annuités constantes , on considère qu'il y a 3 capitaux et on calcule la valeur actuelle de chaque capital puis on fait la somme des 3 valeurs actuelles pour trouver la valur actuelle globale

Quelle est la Différence entre annuités de début de période et de fin de période

Généralement on regarde la première annuité. Si elle est payable aujourd'hui (ou à la date de référence*), alors ce sont des annuités de début de période. Si elle est payable après un an alors, ce sont des annuités de fin de période.
Remarque : La date de référence est une date qu'on suppose qu'on y est.

Mieux comprendre les annuités et le calcul de la valeur acquise et actuelle

Pour mieux comprendre ces annuités et bien réussir les calculs de la valeur acquise et actuelle il faut mettre dans la tête 3 règles :
Règle 1 : Le nombre d'annuités = le nombre de périodes
Règle 2 : On regarde la première période et on met l'annuité (au début ou à la fin selon le cas) puis on met les autres après.
Règle 3 :La valeur actuelle est calculée au début de la première période et la valeur acquise est calculée à la fin de la dernière période

Exemple d'exercices corrigés sur les annuités constantes

Exercice 1 : Quelle est la valeur acquise de 6 annuités constantes de fin de période de 4000 D chacune (taux annuel 8 % ) ?

Corrigé V₆ =4000*table3 = 4000*7,335929=29343,716

Exercice 2 : Quelle est la valeur actuelle de 3 annuités constantes de début de période de 9000 D chacune (taux annuel 8 % ) ?

Corrigé V'₀ = 9000*table4*(1.08)= 9000*2.577097*1.08 =25049.383 D

Exercice 3 : Soient trois annuités constantes de 5000 D chacune . La première annuité a pour date le 1-1-2024. Calculez la valeur actuelle de ces annuités au 1-1-2023 au taux de 8 % l'an.

Corrigé : S'agit il d'annuité de fin de période ou de début de période ? Quelle formule appliquer ? on peut dire que ce sont des annuités de début de période puisque c'est le 1-1 ? la réponse est non. Ce sont réellement des annuités de fin de période. En effet, on veut calculer la valeur actuelle au 1-1-23 (date de référence) et la première annuité vient après un an donc se sont des annuités de fin de période. Donc la valeur actuelle = 5000 * table4 = 5000*2.577097=12885.485
Si tu n'a pas bien compris que ce sont les annuités de fin de période tu utiliser la formule simple de la table2. valeur actuelle au 1-1-23= 5000*0.925926 +5000*0.857339+ 5000*0.793832 = 12885.485 D

Exercice 4 : (Niveau élevé) Soient trois annuités constantes de 5000 D chacune . La première annuité a pour date le 1-1-2024. Calculez la valeur actuelle de ces annuités au 1-1-2020 et la valeur acquise au 1-1-27 et 1-1-30 (taux de 8 % l'an).

Corrigé 1 : Ce premier corrigé est très simple il utilise la table 1 pour la valeur acquise et la table 2 pour la valeur actuelle. Je vous propose de tracer un axe de temps et y mettre les annuités.

V_1-1-20 = 5000(1,08)^-4+5000(1,08)^-5 +5000(1,08)^-6 = 3675.15 + 3402.915 + 3150.85 =10228.915 D
V_1-1-27 = 5000(1,08)³+5000(1,08)² +5000(1,08)¹ = 6298.56 +5832 + 5400 = 17530.560 D
V_1-1-30 = 5000(1,08)⁶+5000(1,08)⁵ +5000(1,08)⁴ = 7934.37 +7346.64+ 6802.445 = 22083.455 D
ou V_1-1-30 = V_1-1-27 (1,08)³ = 17530.560 (1,08)³ = 22083.455 D

Corrigé 2 : Corrigé avancé : il utilise la table 3 pour la valeur acquise et la table 4 pour la valeur actuelle. Je vous propose de tracer un axe de temps et y mettre les annuités. Le problème est de connaitre si se sont des annuités de fin ou de début de période.
Etape 1 : Appliquons les 3 règles relatives aux annuités :
Règle 1 : Il y trois annuités donc, il y a trois période (2024 ,2025 ,2026).
Règle 2 : Puisque la première annuité est versée au début de l'année 2024 donc se sont des annuités de début de période.
Règle 3 : La valeur actuelle est calculée au début de la période 2024 donc le 1-1-2024 et la valeur acquise à la fin de la période 2026 donc le 31-12-26 (ou 1-1-27).
V_1-1-24 = 5000 *table4 *(1,08) = 5000*2.577097 *1.08 = 13916.324 D
V_1-1-27 = 5000 *table3 *(1,08) = 5000*3.2464 *1.08 = 17530.560 D
Etape 2 : Calcul des valeurs demandées à partir des valeurs déja trouvées.
V_1-1-20 =V_1-1-24(1.08) ^-4 = 13916.324*0.73503 = 10228.915 D
V_1-1-27 =17530.560 (déja calculé)
V_1-1-30 = V_1-1-27(1.08) ³=17530.560*1.259712 = 22083.455 D

Corrigé 3 : Corrigé avancé compliqué : il utilise la table 3 pour la valeur acquise et la table 4 pour la valeur actuelle. Je vous propose de tracer un axe de temps et y mettre les annuités. Le problème est de connaitre si se sont des annuités de fin ou de début de période.
Etape 1 : Appliquons les 3 règles relatives aux annuités : On va forcer les annuités être de fin de période.Donc on suppose que la première annuité est versée le 31-12-23 (c'est la même chose que 1-1-2024)
Règle 1 : Il y trois annuités donc, il y a trois périodes (2023 ,2024 ,2025).
Règle 2 : Puisque la première annuité est versée à la fin de l'année 2023 donc se sont des annuités de fin de période.
Règle 3 : La valeur actuelle est calculée au début de la période 2023 donc le 1-1-2023 et la valeur acquise à la fin de la période 2025 donc le 31-12-25 (ou 1-1-26).
V_1-1-23 = 5000 *table4 = 5000*2.577097 = 12885.485 D
V_1-1-26 = 5000 *table3 = 5000*3.2464 = 16232 D
Etape 2 : Calcul des valeurs demandées à partir des valeurs déja trouvées.
V_1-1-20 =V_1-1-23(1.08) ^-3 = 12885.485* 0.793832 = 10228.915 D
V_1-1-27 =V_1-1-26(1.08) = 17530.560 D
V_1-1-30 = V_1-1-26(1.08) ⁴=16232*1.360489 = 22083.455 D